Metoda Najmniejszych Kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów została po raz pierwszy opisana przez francuskiego matematyka Adrien-Marie Legendre w 1805 roku. Jednakże metoda stała się bardziej popularna po publikacji niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa w 1809 roku, który zaproponował alternatywną metodę jej wyznaczania. Obecnie MNK jest jedną z najważniejszych i powszechnie stosowanych metod w analizie danych.

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK) to matematyczna technika, która służy do wyznaczania najlepszego dopasowania liniowego dla zestawu punktów danych. Polega ona na minimalizacji sumy kwadratów różnic między wartościami faktycznymi a wartościami przewidywanymi przez linię trendu.

MNK stosowana jest powszechnie w analizie danych, w tym w dziedzinach takich jak statystyka, nauki społeczne, nauki przyrodnicze, inżynieria, ekonomia i wiele innych. Metoda ta jest szczególnie przydatna w przypadku, gdy dane zawierają pewien stopień szumu lub błędów pomiarowych.

Metoda ta wykorzystywana jest do szacowania parametrów modeli liniowych oraz modeli nieliniowych, które można sprowadzić do postaci liniowej.

Powody uwzględniania składnika losowego w modelu:
• indeterminizm (nieokreśloność) – np. konsument w warunkach wyboru za każdym razem przy tych samych warunkach może podjąć nieco inną decyzję
• błędy obserwacji wynikające np. z nierzetelności
• wady w konstrukcji modelu wynikające np. z niewłaściwej konstrukcji dynamicznej modelu

Warunki zastosowania metody najmniejszych kwadratów:
1. założenia stochastyczne (dotyczące składnika losowego)
a. model musi być sprowadzalny do postaci liniowej względem zmiennych
b. wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero
c. wariancja składników losowych jest stała w czasie
d. kowariancja  pomiędzy składnikami losowymi jest równa zero

Składniki losowe z różnych okresów nie zależą od siebie – kowariancja.
Brak autokorelacji składników losowych. Brak zależności pomiędzy czynnikami przypadkowymi.

e. kowariancja pomiędzy składnikami losowymi i zmiennymi objaśniającymi równa się zero
f. składnik losowy ma rozkład normalny

2. założenia numeryczne
a. rząd macierzy x = k+1 | n(x) = k+1
Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy, kolumn macierzy – rząd.
Wszystkie kolumny macierzy x muszą być liniowo niezależne
b. k+1 < T
k+1 – liczba parametrów strukturalnych
T – liczba obserwacji

Przyczyny występowania składnika losowego:
1. występowanie czynników przypadkowych
2. indeterminizm – w tych samych warunkach różne zachowanie się
3. błędy w obserwacjach
4. wady w konstrukcji modelu

Reasumując:

MNK (metoda najmniejszych kwadratów) jest to jedna z metod estymacji parametrów modelu, jej istotą jest otrzymanie takich ocen parametrów, przy których model byłby możliwie dobrze dopasowany do zebranych danych empirycznych.

Warunkiem zastosowania metody najmniejszych kwadratów do otrzymania estymatorów parametrów modelu jest spełnienie następujących założeń:
- liczba obserwacji powinna być większa od liczby szacowanych parametrów.
- zmienne objaśniające nie mogą być współliniowe tzn. wektory obserwacji zmiennych objaśniających powinny być liniowo niezależne.

Gdy otrzymane estymatory parametrów modelu są estymatorami liniowymi, tzn. są one liniowymi funkcjami obserwacji zmiennej objaśnianej.

Jesteś tutaj: Kompendium ekonomii » Ekonometria » Metoda Najmniejszych Kwadratów

Zaloguj się, aby zagłosować